asil4
Kaç tane sonsuz var?
George Cantor (1845-1918) Rusya’da doğdu ama hayatının büyük bölümünü Almanya’da yaşadı. 19. yüzyılın son çeyreğinde yayınladığı makalelerle bugün matematikte “kümeler teorisi” olarak adlandırılan dalı yaratmış oldu. Cantor’un istediği, sayma işlemini sonsuzun ötesine götürebilmekti. Yani öyle bir yeni sayılar kümesi oluşturulabilmeliydi ki bu sayıların en küçüğünün büyüklüğü bizim klasik sonsuz kavramımızın büyüklüğüne eşit olsun. Cantor bu sayılara “sonluötesi sayılar” adını verdi. Bu sayıları İbrani alfabesinin ilk harfi alef (¥) ve bir alt indisle ifade etti. Alef sıfır, geleneksel sonsuzluk kavramımızın büyüklüğüne eşit; diğer sayılar, alef bir, alef iki, büyüyen bir şekilde devam ediyor.
Sayma işlemi bire bir eşleme anlamına geliyor. Örneğin iki elimizde toplam kaç parmak olduğunu bulacağımız zaman her parmağımıza 1’den 10’a kadar sayıları eşleriz. Burada “10” parmaklarımızın oluşturduğu kümenin “kardinal sayısı” oluyor. Şimdi tek bir elimizdeki parmaklara ilk 10 sayma sayısını eşlemeye kalksak ilk 5 sayı eşlenecek diğerleri açıkta kalacaktır. Bu bize sonlu sayıların temel özelliklerinden birini verir: Sonlu bir sayılar kümesi herhangi bir alt kümesine eşit değildir. Buradan sonsuz kavramına geçiş yapacağız. Onun için şu örneği ele alalım: Bütün sayma sayılarının (tek+çift) oluşturduğu kümeyle, çift sayıların oluşturduğu kümeyi karşılaştıralım. İlkinin daha büyük olmasını bekleriz ama bire bir eşleme yapalım.
Bu işlemi ne kadar devam ettirirsek ettirelim her iki kümedeki sayılar da tükenmez. Bunun anlamı şudur: Bütün sayma sayılarının oluşturduğu kümeyle çift sayılar kümesi eşit büyüklüktedir. Sonsuzluğun tanımı bu örnekten yola çıkarak şöyle yapılıyor: Alt kümelerinden birine eşit olan bir küme sonsuzdur. Bu sonsuzluk sonluötesi ilk sayı olan alef sıfıra eşittir. Peki alef sıfırdan sonraki sayılar nasıl elde edilecek? Sağduyu, bize, rasyonel sayıların tam sayılardan daha çok olduğunu söyler. Çünkü herhangi iki tam sayı arasında sonsuz tane rasyonel sayı vardır. Cantor ise, rasyonel sayıları özel bir şekilde dizerek bunların sayma sayılarıyla bire bir eşlenebilir olduğunu gösterdi. Yani rasyonel sayılar kümesi sayılabilir bir kümedir ve büyüklüğü alef sıfıra eşittir. Rasyonel sayılar kümesinin büyüklüğünün sayma sayıları kadar olması tuhaf geliyor. Ama asıl şenlik sonra başlıyor: Rasyonel sayılara irrasyonel sayıların eklenmesiyle oluşan küme, gerçel sayılar kümesi, alef sıfırdan daha üst bir büyüklüğe sahiptir yani sayılabilir değildir. Cantor bunun ispatını köşegenleştirme ispatı denen bir yöntemle yaptı. Birbirini takip eden iki doğal sayı arasındaki gerçel sayıların sayılamaz olduğunu göstererek tüm gerçel sayılar kümesinin sayılamaz olduğunu ispatladı. Artık sonsuzlar arasında bir ayrım yapmanın zamanıdır:
Zenon paradoksuna yol açan bizim şu eski sonsuzluğumuz alef sıfır büyüklüğündedir ve sayılabilirdir. Alef bir ise gerçel sayılar kümesine karşılık gelir ve sayılabilir değildir. Gerçel sayılar aynı zamanda bizim süreklilik (continuum) kavramımıza karşılık geldiğinden Cantor bu kümenin sonluötesi kardinal sayısını “c” ile gösterdi. Cantor ayrıca tek anlamlı bütün gerçek fonksiyonların da daha üst bir küme oluşturduğunu gösterdi. Böylece ilk elde üç tane alef elde edilmiş oldu. Sonluötesi aleflerin sonsuz olmakla birlikte bir limit değere yakınsadıklarını da hatırlatalım.
Böylelikle Cantor sonsuzluk hakkında çarpıcı önermeler ortaya koyuyordu. Aslında çalışmaları eski zamanların sonsuzluk üzerine yapılan skolastik spekülasyonlarıyla paralellikler içeriyordu. Ama kümeler teorisinin önemi fonksiyonlar teorisi, topoloji gibi çeşitli alanlara uygulandıkça daha net anlaşıldı. Lakin kümeler teorisi de bu sayfalarda daha önce ele aldığımız Gödel’in “tam olmama” teoreminden muaf değil; yani tutarlılığını sonlu zamanda ispatlamak mümkün değil... KUANTUM...
Sayma işlemi bire bir eşleme anlamına geliyor. Örneğin iki elimizde toplam kaç parmak olduğunu bulacağımız zaman her parmağımıza 1’den 10’a kadar sayıları eşleriz. Burada “10” parmaklarımızın oluşturduğu kümenin “kardinal sayısı” oluyor. Şimdi tek bir elimizdeki parmaklara ilk 10 sayma sayısını eşlemeye kalksak ilk 5 sayı eşlenecek diğerleri açıkta kalacaktır. Bu bize sonlu sayıların temel özelliklerinden birini verir: Sonlu bir sayılar kümesi herhangi bir alt kümesine eşit değildir. Buradan sonsuz kavramına geçiş yapacağız. Onun için şu örneği ele alalım: Bütün sayma sayılarının (tek+çift) oluşturduğu kümeyle, çift sayıların oluşturduğu kümeyi karşılaştıralım. İlkinin daha büyük olmasını bekleriz ama bire bir eşleme yapalım.
Bu işlemi ne kadar devam ettirirsek ettirelim her iki kümedeki sayılar da tükenmez. Bunun anlamı şudur: Bütün sayma sayılarının oluşturduğu kümeyle çift sayılar kümesi eşit büyüklüktedir. Sonsuzluğun tanımı bu örnekten yola çıkarak şöyle yapılıyor: Alt kümelerinden birine eşit olan bir küme sonsuzdur. Bu sonsuzluk sonluötesi ilk sayı olan alef sıfıra eşittir. Peki alef sıfırdan sonraki sayılar nasıl elde edilecek? Sağduyu, bize, rasyonel sayıların tam sayılardan daha çok olduğunu söyler. Çünkü herhangi iki tam sayı arasında sonsuz tane rasyonel sayı vardır. Cantor ise, rasyonel sayıları özel bir şekilde dizerek bunların sayma sayılarıyla bire bir eşlenebilir olduğunu gösterdi. Yani rasyonel sayılar kümesi sayılabilir bir kümedir ve büyüklüğü alef sıfıra eşittir. Rasyonel sayılar kümesinin büyüklüğünün sayma sayıları kadar olması tuhaf geliyor. Ama asıl şenlik sonra başlıyor: Rasyonel sayılara irrasyonel sayıların eklenmesiyle oluşan küme, gerçel sayılar kümesi, alef sıfırdan daha üst bir büyüklüğe sahiptir yani sayılabilir değildir. Cantor bunun ispatını köşegenleştirme ispatı denen bir yöntemle yaptı. Birbirini takip eden iki doğal sayı arasındaki gerçel sayıların sayılamaz olduğunu göstererek tüm gerçel sayılar kümesinin sayılamaz olduğunu ispatladı. Artık sonsuzlar arasında bir ayrım yapmanın zamanıdır:
Zenon paradoksuna yol açan bizim şu eski sonsuzluğumuz alef sıfır büyüklüğündedir ve sayılabilirdir. Alef bir ise gerçel sayılar kümesine karşılık gelir ve sayılabilir değildir. Gerçel sayılar aynı zamanda bizim süreklilik (continuum) kavramımıza karşılık geldiğinden Cantor bu kümenin sonluötesi kardinal sayısını “c” ile gösterdi. Cantor ayrıca tek anlamlı bütün gerçek fonksiyonların da daha üst bir küme oluşturduğunu gösterdi. Böylece ilk elde üç tane alef elde edilmiş oldu. Sonluötesi aleflerin sonsuz olmakla birlikte bir limit değere yakınsadıklarını da hatırlatalım.
Böylelikle Cantor sonsuzluk hakkında çarpıcı önermeler ortaya koyuyordu. Aslında çalışmaları eski zamanların sonsuzluk üzerine yapılan skolastik spekülasyonlarıyla paralellikler içeriyordu. Ama kümeler teorisinin önemi fonksiyonlar teorisi, topoloji gibi çeşitli alanlara uygulandıkça daha net anlaşıldı. Lakin kümeler teorisi de bu sayfalarda daha önce ele aldığımız Gödel’in “tam olmama” teoreminden muaf değil; yani tutarlılığını sonlu zamanda ispatlamak mümkün değil... KUANTUM...
